では、簡単なテストスクリプトを書いてみます。

#!/usr/local/bin/env perl
use strict;
use warnings;
use FindBin;
use lib "$FindBin::Bin/Parallel-Prefork-0.08/lib/";
use Parallel::Prefork;

my $pm = Parallel::Prefork->new({
        max_workers => 2,
        trap_signals => {
            TERM => 'TERM',
        },
    });

while ($pm->signal_received ne 'TERM') {
    $pm->start(sub {
        sleep(3);
        warn "end:" . time();
    });
}
$pm->wait_all_children();

これを実行すると、

cannot start another process while you are in child process at ...../Parallel/Prefork.pm line 42.

みたいなエラーが表示されます。

これは、手元にあった0.10未満のバージョンのParallel::Preforkを利用して、
0.10から実装された「- support new style: $pm->start(sub { … })」の形で
コードを実装してしまっている為です。

【0.10未満のParallel::Prefork】
$pm->start(sub{})に対応していないので、上記のコードだと、
何も処理されずにstartだけしてwhile分がまわります。
ここで問題なのは、Parallel::Prefoxkを正常終了するには、$pm->finishしないといけないという事。
この場合、$pm->start(sub{});で渡した内容が宙に浮きます。そして、finishが走る要素がなくなります。

sub start { 
    my $self = shift;
　　　　：
　　　　：
    die 'cannot start another process while you are in child process'
        if $self->{in_child};
　　　　：
}

0.10以上のParallel::Preforkを利用している場合には、上記の$pm->start(sub{})の中が
Parallel::Prefork側の$cbに入り、$cb->();実行後に、$self->finish();されているので、問題ない。

sub start {
    my ($self, $cb) = @_;
　　　　：
　　　　：
       if ($cb) {
           $cb->();
           $self->finish();
       }
　　　　：
}

ということで、コードをそのままに、libの読み込み先を

use lib "$FindBin::Bin/Parallel-Prefork-0.08/lib/";
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓
use lib "$FindBin::Bin/Parallel-Prefork-0.13/lib/";

に変更したら、正常に動作しました。
まあ、通常はcpanmとかでParallel::Preforkを更新すればいいだけですね。
現時点の最新が、0.13なので、それにしてますが、多分Changesから見ると0.10以降なら何でも動くはず。

【もしも0.08のままいきたいなら】
コードを以下のように$pm->startの引数で渡すのを止めて、
かつ、$pm->finish;を明示的にするように修正すればいいだけですね

#!/usr/local/bin/env perl
use strict;
use warnings;
use FindBin;
use lib "$FindBin::Bin/Parallel-Prefork-0.08/lib/";
use Parallel::Prefork;

my $pm = Parallel::Prefork->new({
        max_workers => 2,
        trap_signals => {
            TERM => 'TERM',
        },
    });

while ($pm->signal_received ne 'TERM') {
    $pm->start;

    sleep(3);
    warn "end:" . time();

    $pm->finish;
}

まあ、そもそもが、Parallel::Preforkの0.10以上を利用していたシステムを
0.10未満のサーバに移植した(古いサーバに移設とかあまり無いですよね)とかしないと発生しないので、
この現象を調べる事になる人は、ほとんどいないと思いますけど。